\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\include{preamble}

\begin{document}

\maketitle

\noindent
\setlength{\parindent}{2em}
\setlength{\parskip}{0.3em}

\section*{第一题}

已知两图像上的n对匹配点，其对应的归一化平面坐标分别为 $\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{p}^\prime$，请求取两帧之间的本质矩阵$\mathbf{E}$。

答：\newline 

根据对极约束

$$
{\mathbf{p}'}^T \cdot \mathbf{E} \cdot \mathbf{p} = 0
$$

写成矩阵形式：

$$
\begin{bmatrix} x' & y' & 1 \end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
e_{1} & e_{2} & e_{3} \\
e_{4} & e_{5} & e_{6} \\
e_{7} & e_{8} & e_{9}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = 0
$$

矩阵 $\mathbf{E}$ 展开，写成向量形式 $\mathbf{e}$，并把所有点（n对点，n>=8）放到一个方程中，齐次线性方程组 如下：

$$
\begin{bmatrix}
x'^1x^1 & x'^1y^1 & x'^1 &
y'^1x^1 & y'^1y^1 & y'^1 &
x^1     & y^1     & 1    \\
x'^2x^2 & x'^2y^2 & x'^2 &
y'^2x^2 & y'^2y^2 & y'^2 &
x^2     & y^2     & 1    \\
\vdots & \vdots & \vdots &
\vdots & \vdots & \vdots &
\vdots & \vdots & \vdots \\
x'^nx^n & x'^ny^n & x'^n &
y'^nx^n & y'^ny^n & y'^n &
x^n     & y^n     & 1    \\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \\
e_{4} \\ e_{5} \\ e_{6} \\
e_{7} \\ e_{8} \\ e_{9}
\end{bmatrix} = 0
$$

即（the essential matrix lying in the null space of this matrix A）

$$
\mathbf{A} \cdot \mathbf{e} = \mathbf{0}
\quad s.t. \quad
\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times 9}, n \geq 8
$$

对上式 求解 最小二乘解（尺度等价性）

$$
\min_{\mathbf{e}} \|\mathbf{A} \cdot \mathbf{e}\|^2
\quad s.t. \quad
\|\mathbf{e}\| = 1
\quad \text{or} \quad
{\|\mathbf{E}\|}_F = 1
$$

SVD分解 $\mathbf{A}$（或者 EVD分解 $\mathbf{A}^T \mathbf{A}$）

$$
\text{SVD}(\mathbf{A}) = \mathbf{U} \mathbf{D} \mathbf{V}^T
$$

$\mathbf{e}$ 正比于 $\mathbf{V}$ 的最后一列，得到 $\mathbf{E}$  

根据 奇异性约束 $\text{rank}(\mathbf{E})=2$，再 SVD分解 $\mathbf{E}$  

$$
\text{SVD}(\mathbf{E}) =
\mathbf{U}_E \mathbf{D}_E \mathbf{V}_E^T
$$

求出的 $\mathbf{E}$ 可能不满足其内在性质（奇异值是 $[\sigma, \sigma, 0]^T$ 的形式），此时对 $\mathbf{D}_E$ 进行调整，假设 $\mathbf{D}_E = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$ 且 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$，则令  

$$
\mathbf{D}_E' =
\text{diag}(\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}, \frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}, 0)
$$

或者，更简单的（尺度等价性）

$$
\mathbf{D}_E' = \text{diag}(1, 1, 0)
$$

最后，$\mathbf{E}$ 矩阵的正确估计为

$$
\mathbf{E}' =
\mathbf{U}_E \mathbf{D}_E' \mathbf{V}_E^T
$$


\bibliographystyle{unsrt}
\bibliography{bibfile}

\end{document}

